Bewertung (Geometrie)

Eine Bewertung ist in der Geometrie eine modulare Mengenfunktion, die von einem Mengensystem ${\displaystyle S}$ über einer Grundmenge ${\displaystyle X}$ in eine abelsche Halbgruppe ${\displaystyle H}$ abbildet. Der Begriff sollte nicht mit der Bewertung im algebraischen Sinne verwechselt werden.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ eine Menge und ${\displaystyle V}$ ein Mengenverband über ${\displaystyle X}$. Weiter sei ${\displaystyle H}$ eine abelsche Halbgruppe. Eine Funktion ${\displaystyle \varphi \colon V\to H}$ wird Bewertung genannt, wenn

${\displaystyle \varphi (A) \varphi (B)=\varphi (A\cup B) \varphi (A\cap B)}$

für alle ${\displaystyle A,B\in V}$ gilt.

Beispiele

• Das Lebesgue-Maß oder die Euler-Charakteristik über die Menge der konvexen Körper des ${\displaystyle d}$-dimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ stellen Bewertungen dar.
• Die Dirac-Bewertung auf einem topologischem Raum.

Eigenschaften

• Eine Bewertung ist per definitionem immer submodular.
• Nach dem Satz von Hadwiger lässt sich eine stetige, isometrie-invariante Bewertung auf dem ${\displaystyle d}$-dimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ als eine Linearkombination von Quermaßintegralen darstellen.
• Mithilfe von Bewertungen lässt sich das allgemeine kinematische Hauptsystem der Integralgeometrie formulieren.

Literatur

• Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper. Birkhäuser Verlag, Basel 1955, ISBN 978-3-7643-0160-6, doi:10.1007/978-3-0348-6953-9 (springer.com [abgerufen am 30. Mai 2024]). 
• Rolf Schneider, Wolfgang Weil: Integralgeometrie (= Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik). Vieweg Teubner Verlag, Wiesbaden 1992, ISBN 978-3-519-02734-8, doi:10.1007/978-3-322-84824-6 (springer.com [abgerufen am 30. Mai 2024]).